Trang thông tin tổng hợp
    Trang thông tin tổng hợp
    • Ẩm Thực
    • Công Nghệ
    • Kinh Nghiệm Sống
    • Du Lịch
    • Hình Ảnh Đẹp
    • Làm Đẹp
    • Phòng Thủy
    • Xe Đẹp
    • Du Học
    Ẩm Thực Công Nghệ Kinh Nghiệm Sống Du Lịch Hình Ảnh Đẹp Làm Đẹp Phòng Thủy Xe Đẹp Du Học
    1. Trang chủ
    2. Thể Thao
    Mục Lục
    • #1.1. Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất
    • #2.2. Các dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản

    Các công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản và một số bài tập

    avatar
    kangta
    23:09 20/11/2024

    Mục Lục

    • #1.1. Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất
    • #2.2. Các dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản

    1. Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất

    Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng khi học chương trình toán 12, đặc biệt trong phần giải tích. Dưới đây là toàn bộ những công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản nhất được các em áp dụng nhiều trong quá trình làm bài tập.

    Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

    2. Các dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản

    Dạng 1: Nguyên hàm của $I = sin^{m}xcos^{n}xdx$

    • Trường hợp 1: Nếu m = 2k + 1 $Rightarrow I = int sin^{2k}xcos^{n}x.sinxdx$

    $= - int (1-cos^{2}x)^{k} . cos^{n}xd (cosx) Rightarrow$ Đặt $t = cosx$

    • Trường hợp 2: Nếu n = 2k+1 $Rightarrow$ Đặt $t = sinx$

    • Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc

    Lưu ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng.

    • I = ∫f(sinx) cosxdx = ∫f(sinx)d(sinx) → Đặt t = sinx

    • I = ∫f(cosx) sinxdx = −∫f(cosx) d(cosx) → Đặt t = cosx

    Dạng 2: Nguyên hàm $I= int frac{dx}{sin^{m}x.cos^{n}x} = frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x} ....$

    • Trường hợp 1:

    Nếu m= 2k+ 1 $I= int frac{sinxdx}{sin^{2k+2}x}.cos^{n}x = - int frac{d(cosx)}{(1 - cos^{2}x)^{k+1}} . cos^{n}x$

    Khi đó ta đặt: $t= cosx$

    • Trường hợp 2: Nếu n= 2k+ 1 → Đặt $t= sinx$

    • Trường hợp 3: Nếu m,n đều chẵn ta có: $frac{dx}{sin^{m}x} . cos^{n}x = frac{sin^{2}x.cos^{n}x}{sin^{m}x.cos^{n}x}$

    Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

    Các nguyên hàm chứa $tanx$ hay $cotx$ ta thường dùng các hằng đẳng thức

    $frac{1}{sin^{2}x} = 1+ cos^{2}x ; frac{1}{cos^{2}x = 1+tan^{2}}x$

    Nguyên hàm mà mẫu là đẳng cấp bậc 2 với $sinx$ và $cotx$

    $Asin^{2}x + Bsinx.cosx + Ccos^{2}x$ thì ta chia cả tử và mẫu cho $cos^{2}x$

    Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

    $int cosax . cosbxdx = frac{1}{2}int [cos(a+b)x + cos(a-b)x]dx$

    $int sinax . sinbxdx = frac{-1}{2}$

    $int [cos(a+b)x-cos(a-b)x]dx$

    $int sinax.cosbxdx= frac{1}{2} int [sin(a+b)x+sin(a-b)x]dx$

    $int cosax.sinbxdx = frac{1}{2} int [sin(a+b)x - sin(a - b)x]dx$

    Dạng 5: Nguyên hàm $I = int frac{dx}{asinx + bcosx + c}$

    Ta có: $int frac{dx}{msin^{2}frac{x}{2}+nsinfrac{x}{2}cosfrac{x}{2}+pcos^{x}frac{x}{2}} = int frac{dx}{cos^{2}frac{x}{2}(mtan^{2}frac{x}{2}+ntanfrac{x}{2}+p)} overset{t=tanfrac{x}{2}}{rightarrow} I= int frac{dt}{mt^{2}+nt+p}$

    Các em học sinh có thể tham khảo bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT Quốc Gia

    3. Một số bài tập nguyên hàm lượng giác và phương pháp giải

    Câu 1: Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?

    A. 7sinx + C.

    B. 7cosx + C.

    C. -7cosx + C.

    D. Tất cả sai.

    Giải

    Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.

    Chọn C.

    Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:

    A. -6cosx - 8sinx + C.

    B. 6cosx + 8sinx + C.

    C. -6cosx + 8sinx + C.

    D. 6cosx - 8sinx + C

    Giải

    Ta có:

    ∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.

    Chọn C.

    Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx

    A. 8cosx - 8sinx.

    B. -8cosx - 8sinx.

    C. 8cosx + 8sinx.

    D. Tất cả sai.

    Giải

    Ta có: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx - 8sinx

    Chọn B.

    Câu 4: Tính: I = ∫sin⁡(x2 - x + 1).(2x - 1) dx

    A. cos⁡(x2 - x + 1) + c.

    B. -2 cos⁡(x2 - x + 1) + c.

    C. -1/2 . cos⁡(x2 - x + 1).

    D. -cos⁡(x2 - x + 1).

    Giải

    Ta có: sin⁡(x2 - x + 1).(2x - 1)dx = sin⁡(x2 - x + 1).(x2 - x + 1)' dx

    = sin⁡(x2 - x + 1).d(x2 - x + 1)

    Đặt u = x2 - x + 1 ta được:

    ⇒ I = ∫sin⁡(x2 - x + 1).(2x - 1) dx = ∫sin⁡(x2 - x + 1).d(x2 - x + 1)

    I = ∫sinudu = -cosu + C = -cos⁡(x2 - x + 1) + c

    Chọn D.

    Câu 5:

    Tính Bài tập nguyên hàm lượng giác

    A. 3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

    B. -3ln|cosx + 2| - ln⁡|cosx + 1| + c

    C. 4ln|cosx + 2| + 2ln⁡|cosx + 1| + c

    D. 2ln|cosx + 2| - 3ln⁡|cosx + 1| + c

    Giải:

    Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan2x

    Giải:

    Ta có

    Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne

    Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ

    Câu 8: Nguyên hàm của hàm số

    y = 2cos6x - 3sin4x có dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?

    A. -4

    B. 4

    C. 2

    D. -2

    Giải:

    Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số

    Giải:

    Ta có:

    Câu 10: Tìm nguyên hàm sau: $I = int frac{2dx}{sqrt{3}sinx+cosx}$

    Giải

    Câu 11: Tính nguyên hàm sau: $J= intfrac{dx}{{cos2x}- sqrt{3}sin2x}$

    Giải

    Câu 12: Tìm nguyên hàm sau $I= intfrac{dx}{3cosx + 5sinx +3}$

    Giải

    Câu 13: Tính nguyên hàm sau $I= intfrac{dx}{sin^{2}x + 2sinxcosx 2cos^{2}x}$

    Giải

    Câu 14: Tính nguyên hàm sau $I= int frac{4sinx+ 3cosx}{sinx+ 2cosx}$

    Giải

    Bài 15: Tìm nguyên hàm $J= intfrac{3 cosx- 2 sinx}{cosx-4sinx}dx$

    Giải:

    Ta tìm A,B sao cho

    3 cosx- 2 sinx= A(cosx- 4sinx) + B(-sinx-4cosx

    Câu 16: Tính nguyên hàm của $I=intfrac{8cosx}{(sqrt{3} sinx + cosx)^{2}}dx$

    Giải

    Câu 17: Tính nguyên hàm $I=intfrac{8sinx+cosx+5}{(2sinx-cosx+1)}$

    Giải

    Câu 18: Tính nguyên hàm $I= int cos3xcos4xdx$

    Giải

    Câu 19: Tính nguyên hàm sau $I=int (sin^{3}x cos3x+cos^{3}xsin3x)dx$

    Giải

    Câu 20: Tính nguyên hàm sau $I= int frac{dx}{sinxcos^{3}x}$

    Giải

    Câu 21: Tính nguyên hàm $int frac{sin3x. sin4x}{tanx + tan2x}$

    Giải

    Câu 22: Tính nguyên hàm $int frac{dx}{sin^{3}x}$

    Giải

    Câu 23: Tính nguyên hàm $I= int frac{dx}{sinx sin(x+frac{π}{6})}$

    Giải

    Câu 24: Tính nguyên hàm của

    $I= int tanx.tan(frac{pi}{3}-x)tan (frac{pi}{3}+x)dx $

    Giải

    Câu 25: Tính nguyên hàm của $I= int frac{dx}{sinx(x+frac{pi}{6})+cos(x+frac{pi}{12})}$

    Giải

    Để hiểu sâu hơn và thành thạo hơn trong thao tác giải các bài tập nguyên hàm cơ bản áp dụng giải bài tập nguyên hàm tích phân, các em cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Thành Đức Trung nhé!

    Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm lượng giác, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức và các dạng toán hay, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

    >> Xem thêm:

    • Tích phân là gì? Phương pháp tính và các dạng toán cơ bản
    • Công thức nguyên hàm Inx và cách giải các dạng bài tập
    • Công thức tính nguyên hàm từng phần và bài tập có đáp án
    • Công thức lượng giác
    0 Thích
    Chia sẻ
    • Chia sẻ Facebook
    • Chia sẻ Twitter
    • Chia sẻ Zalo
    • Chia sẻ Pinterest
    In
    • Điều khoản sử dụng
    • Chính sách bảo mật
    • Cookies
    • RSS
    • Điều khoản sử dụng
    • Chính sách bảo mật
    • Cookies
    • RSS

    Trang thông tin tổng hợp cdsphagiang

    Website cdsphagiang là blog chia sẻ vui về đời sống ở nhiều chủ đề khác nhau giúp cho mọi người dễ dàng cập nhật kiến thức. Đặc biệt có tiêu điểm quan trọng cho các bạn trẻ hiện nay.

    © 2025 - cdsphagiang

    Kết nối với cdsphagiang

    vntre
    vntre
    vntre
    vntre
    vntre
    Dự báo thời tiết HB 88 v9bet 789club jun88 33win https://hb88pro.me/ https://77betpro.org/
    Trang thông tin tổng hợp
    • Trang chủ
    • Ẩm Thực
    • Công Nghệ
    • Kinh Nghiệm Sống
    • Du Lịch
    • Hình Ảnh Đẹp
    • Làm Đẹp
    • Phòng Thủy
    • Xe Đẹp
    • Du Học
    Đăng ký / Đăng nhập
    Quên mật khẩu?
    Chưa có tài khoản? Đăng ký